Całkowanie przez części całek nieoznaczonych

Twierdzenie 1: o całkowaniu przez części

Niech funkcje \( f \) i \( g \) mają pochodne w przedziale \( I \). Jeżeli iloczyn \( f g^{\prime} \) ma w przedziale \( I \) funkcję pierwotną , to iloczyn \( f^{\prime} g \) ma w przedziale \( I \) funkcję pierwotną. Ponadto

\( \int f^{\prime} (x) g(x)\, dx= f(x) g(x)- \int f(x) g^ {\prime}(x)\, dx \, . \)

W dalszej części przedstawimy zastosowanie powyższego twierdzenia. Oprócz niego wykorzystamy inne twierdzenia, tj. wzory podstawowe, twierdzenie o całce sumy, twierdzenie o wyciąganiu stałej przed znak całki oraz twierdzenie o całkowaniu przez podstawianie .

Przykład 1:

Obliczmy całkę \( \int x \, \text{ln}\, x\, dx \).

\( \int x \text{ln}\, x\, dx= \left| \begin{array}{rclcrcl} g (x) &=& \text{ln} \, x & & f^{\prime} (x) = x \\ g^{\prime} (x) &=& \frac{1}{x} & & f(x) = \frac12 x^2 \end{array} \right| = \frac12 x^2 \cdot \text{ln} \, x - \int \frac{1}{x} \cdot \frac12 x^2 \, dx = \frac12 x^2 \text{ln} \, x - \frac12 \int x \, dx \\= \frac12 x^2\, x\text{ln} \, x - \frac14 x^2 + c \, . \)

Uwaga 1:

W zapisie całkowania przez części \( f \) oznacza jakąkolwiek funkcję pierwotną funkcji \( f^{\prime} \).

Przykład 2:

Obliczmy całkę \( \int x e^x \, dx \).

\( \int x e^x \, dx = \left| \begin{array}{rclcrcl} g (x) &=& x & & f^{\prime} (x)& =& e^x \\ g^{\prime} (x)& = & 1 & & f(x)& =& e^x \end{array} \right| = x e^x - \int 1 \cdot e^x \, dx= x e^x - e^x + c \, . \)

Przykład 3:

Obliczmy całkę \( \int x^2 e^x \, dx \).

\( \int x^2 e^x \, dx = \left| \begin{array}{rclcrcl} g (x) &=& x^2 & & f^{\prime} (x)& =& e^x \\ g^{\prime} (x)& = & 2x & & f(x)& =& e^x \end{array} \right| = x^2 e^x - \int 2x \cdot e^x \, dx= x^2 e^x - 2 \int x e^x \, dx \, . \)

Korzystając z poprzedniego przykładu, otrzymujemy

\( \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2 \cdot \left( x e^x - e^x \right) + c = \left( x^2 - 2 x + 2 \right) e^x + c \, . \)

Przykład 4:

Obliczmy całkę \( \int (8x-3) e^ {4x} \, dx \).

\( \int (8x-3) e^ {4x} \, dx= \left| \begin{array}{rclcrcl} g (x) &=& 8x-3 & & f^{\prime} (x)& =& e^ {4x} \\ g^{\prime} (x)& = & 8 & & f(x)& =& \frac{1}{4} e^ {4x} \end{array} \right| = (8x-3)\cdot \frac{1}{4} e^ {4x} - \int 8\cdot \frac{1}{4} e^ {4x} \, dx \\ = \left( 2x-\frac{3}{4}\right) e^ {4x} -2 \int e^ {4x}\, dx = \left( 2x-\frac{3}{4}\right) e^ {4x} -2\cdot \frac{1}{4} e ^{4x} + c= \left( 2x-\frac{5}{4}\right) e^ {4x} +c \, . \)

Przykład 5:

Obliczmy całkę \( \int (2x+1) \sin x \, dx \).

\( \int (2x+1) \sin x\, dx= \left| \begin{array}{rclcrcl} g (x) &=& 2x+1 & & f^{\prime} (x)& =& \sin x \\ g^{\prime} (x)& = & 2 & & f(x)& =& -\cos x \end{array} \right| = (2x+1)\cdot (-\cos x) - \int 2 \cdot (-\cos x) \, dx \\ = -(2x+1)\cos x +2 \int \cos x \, dx= -(2x+1)\cos x +2 \sin x + c \, . \)

Przykład 6:

Obliczmy całkę \( \int (x^3-6x+21) \cos 3x \, dx \).

\( (\star ) = \int (x^3-6x+21) \cos 3x\, dx= \left|\begin{array}{rcl rcl} g (x) &=& x^3-6x+21 & f^{\prime} (x)& =& \cos 3x \\ g^{\prime} (x)& = & 3x^ 2-6 & f(x)& =& \frac{1}{3}\sin 3x \end{array}\right| \\ = (x^3-6x+21)\cdot \left(\frac{1}{3}\sin 3x \right) - \int (3x^2 -6) \cdot \left(\frac{1}{3}\sin 3x \right) \, dx= \frac{x^3-6x+21}{3}\sin 3x -3\cdot\frac{1}{3} \int (x^2 -2) \sin 3x \, dx \, . \)

Całkę \( \int (x^2 -2) \sin 3x \, dx \) wyliczymy również stosując twierdzenie o całkowaniu przez części :

\( (\star \star )= \int (x^2 -2) \sin 3x \, dx= \left| \begin{array}{rclcrcl} g (x) &=& x^2-2 & & f^{\prime} (x) &=& \sin 3x \\ g^{\prime} (x) &=& 2x & & f(x) &=& -\frac{1}{3}\cos 3x \end{array}\right| \\ = (x^2-2)\cdot \left(-\frac{1}{3}\cos 3x \right)-\int 2x\cdot \left(-\frac{1}{3}\cos 3x \right)\, dx = \frac{2-x^2}{3}\cos 3x + \frac{2}{3}\int x \cos 3x\, dx \, . \)

Całkę \( \int x \cos 3x \, dx \) liczymy ponownie stosując twierdzenie o całkowaniu przez części :

\( \int x \cos 3x \, dx= \left| \begin{array}{rclcrcl} g (x) &=& x & & f^{\prime} (x)& =& \cos 3x \\ g^{\prime} (x)& = & 1 & & f(x)& =& \frac{1}{3}\sin 3x \end{array} \right| = x\cdot \frac{1}{3}\sin 3x-\int 1\cdot \frac{1}{3}\sin 3x\, dx \\ = \frac{x}{3}\sin 3x- \frac{1}{3}\int \sin 3x\, dx= \frac{x}{3}\sin 3x- \frac{1}{3}\cdot \left(-\frac{1}{3}\cos 3x \right) + c_2= \frac{x}{3}\sin 3x + \frac{1}{9}\cos 3x + c_2 \, . \)

Wyliczoną całkę wstawiamy do całki oznaczonej przez \( (\star \star ) \):

\( (\star \star ) = \frac{2-x^2}{3}\cos 3x + \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{x}{3}\sin 3x + \frac{1}{9}\cos 3x + c_2\right)= \left(\frac{20}{27}-\frac{x^2}{3}\right)\cos 3x + \frac{2x}{9}\sin 3x + c_1 \, . \)

W powyższym wzorze stała \( c_2 \) została zastąpiona przez stałą \( c_1= \frac{2}{3}c_2 \). Następnie wstawiamy wyliczoną całkę do całki oznaczonej przez \( (\star ) \):

\( (\star )= \left(\frac{x^3}{3}-2x+7\right)\sin 3x - \left(\left(\frac{20}{27}-\frac{x^2}{3}\right)\cos 3x + \frac{2x}{9}\sin 3x + c_1\right) \\ = \left(\frac{x^3}{3}-\frac{20x}{9}+7\right)\sin 3x - \left(\frac{20}{27}-\frac{x^2}{3}\right)\cos 3x + c \, , \)

gdzie stała \( c = -c_1 \) .

W poniższej uwadze podsumowano dotychczasowe przykłady.

Uwaga 2:

Uogólniając, jeśli \( W_n(x) \) oznacza wielomian \( n \) -tego stopnia oraz
\( a \) jest dowolną liczbą różną od zera, to wówczas licząc całki z funkcji

\( W_n(x)\sin ax\, , \qquad W_n(x) \cos ax \, , \qquad W_n(x) e^ {ax} \)

stosujemy twierdzenie o całkowaniu przez części przyjmując

\( g(x) = W_n(x)\, . \)

Przykład 7:

Stosując całkowanie przez części można wyznaczyć funkcję pierwotną dla funkcji arkus tanagens:

\( \int \text{arctg}\, x\, dx=\int 1\cdot \text{atctg}\, x\, dx= \left| \begin{array}{rclcrcl} g (x) &=& \text{arctg} \, x & & f^{\prime} (x)& =& 1 \\ g^{\prime} (x)& = & \frac{1}{x^2+1} & & f(x)& =& x \end{array} \right| = x\cdot \text{arctg} \, x - \int \frac{1}{x^2+1} \cdot x \, dx= \\ x \, \text{arctg} \, x - \frac12 \int \frac{2x}{x^2+1} \, dx= x \, \text{arctg} \, x - \frac12 \text{ln} (x^2+1) + c \, . \)

Przykład 8:

Stosując całkowanie przez części można również wyznaczyć funkcję pierwotną dla funkcji arkus sinus:

\( \int \text{arcsin}\, x\, dx=\int 1\cdot \text{arcsin}\, x\, dx= \left| \begin{array}{rclcrcl} g (x) &=& \text{arcsin} \, x & & f^{\prime} (x)& =& 1 \\ g^{\prime} (x)& = & \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} & & f(x)& =& x \end{array} \right| = x\cdot \text{arcsin} \, x - \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot x \, dx \, . \)

Całkę \( \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \) wyliczymy stosując twierdzenie o całkowaniu przez podstawianie .

\( \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx =\left|\begin{array}{rcl}t & = & 1-x^2 \\dt & = & - 2x \, dx\\-\frac12 \, dt & = & x \, dx \end{array}\right| = -\frac12\int \frac{1}{\sqrt{t} } \, dt =-\frac12\cdot 2\sqrt{t} + c_1 = -\sqrt{1-x^2} + c_1 \, . \)

Zatem

\( \int \text{arcsin}\, x\, dx = x \, \text{arcsin} \, x - ( -\sqrt{1-x^2} + c_1) = x \, \text{arcsin} \, x + \sqrt{1-x^2} + c \, . \)

Przykład 9:

Stosując całkowanie przez części można wyznaczyć funkcję pierwotną dla logarytmu naturalnego:

\( \int \text{ln}\, x\, dx=\int 1\cdot \text{ln}\, x\, dx= \left| \begin{array}{rclcrcl} g (x) &=& \text{ln} \, x & & f^{\prime} (x)& =& 1 \\ g^{\prime} (x)& = & \frac{1}{x} & & f(x)& =& x \end{array} \right| = x\cdot \text{ln} \, x - \int \frac{1}{x} \cdot x \, dx= x\text{ln} \, x - \int \, dx \\ = x\text{ln} \, x - x + c \, . \)

Przykład 10:

Obliczmy całkę \( \int \text{ln}\, (x^2+1)\, dx \) .

\( \int \text{ln}\, (x^2+1)\, dx=\int 1\cdot \text{ln}\, (x^2+1)\, dx= \left| \begin{array}{rclcrcl} g (x) &=& \text{ln} \, (x^2+1) & & f^{\prime} (x)& =& 1 \\ g^{\prime} (x)& = & \frac{2x}{x^2+1} & & f(x)& =& x \end{array} \right| \\ = x\cdot \text{ln} \, (x^2+1) - \int \frac{2x}{(x^2+1)} \cdot x \, dx= x\text{ln} \, (x^2+1) - 2\int \frac{x^2 +1-1}{x^2+1} \, dx \\ = x\text{ln} \, (x^2+1) - 2\left( \int dx - \int \frac{1}{x^2+1}\right) \, dx= x\text{ln} \, (x^2+1) - 2 x + 2 \text{arctg}\, x + c \, . \)

Przykład 11:

Obliczmy całkę \( \int (9x^2-4x) \text{ln}\, x\, dx \) .

\( \int (9x^2-4x) \text{ln}\, x\, dx= \left| \begin{array}{rclcrcl} g (x) &=& \text{ln} \, x & & f^{\prime} (x)& =& 9x^2-4x \\ g^{\prime} (x)& = & \frac{1}{x} & & f(x)& =& \frac{9x ^3}{3} -\frac{4x ^2}{2} \end{array} \right| \\ = (3x^3-2x^2)\cdot \text{ln} \, x - \int \frac{1}{x} \cdot (3x^3-2x^2) \, dx= (3x^3-2x^2)\text{ln} \, x - \int (3x^2-2x) \, dx \\ = (3x^3-2x^2)\text{ln} \, x -\left( \frac{3x^3}{3}-\frac{2x^2}{2}\right) + c= (3x^3-2x^2)\text{ln} \, x -x^3 + x^2 + c \, . \)

Przykład 12:

Obliczmy całkę \( \int e^ x \sin x\, dx \) .

\( \int e^ x \sin x\, dx= \left| \begin{array}{rclcrcl} g (x) &=& \sin x & & f^{\prime} (x)& =& e^ {x} \\ g^{\prime} (x)& = & \cos x & & f(x)& =& e^ {x} \end{array} \right| = e^ x \sin x - \int e^ x \cos x\, dx \\ = \left| \begin{array}{rclcrcl} g (x) &=& \cos x & & f^{\prime} (x)& =& e^ {x} \\ g^{\prime} (x)& = & -\sin x & & f(x)& =& e^ {x} \end{array} \right| = e^ x \sin x - \left( e^ x \cos x - \int e^ x \cdot(- \sin x)\, dx \right) \\ = e^ x (\sin x - \cos x) - \int e^ x \sin x \, dx \, . \)

Zauważmy, że aby wyznaczyć jedną z funkcji pierwotnych , należy rozwiązać równanie:

\( I=e^ {x} (\sin x - \cos x) - I\, , \)

w którym niewiadomą jest całka \( I = \int e^ {x}\sin x \, dx \) . Zatem

\( 2I = e^ {x} (\sin x - \cos x) \, , \\ I = \frac{1}{2} e^ {x} (\sin x - \cos x) \, . \)

thr:CzesciKN-Czesci

W celu wyznaczenia całki nieoznaczonej, tj. wszystkich funkcji pierwotnych, dodajemy stałą \( c \) .
Zatem rozwiązaniem jest

\( \int e^ {x}\sin x \, dx = \frac{1}{2} e^ {x} (\sin x - \cos x) + c \, . \)

Uwaga 3:

W podobny sposób można wyznaczyć całki postaci:

\( \int e^ {ax}\sin bx \, dx \quad \text{ oraz } \quad \int e^ {ax}\cos bx \, dx \, , \)

dla dowolnych liczb \( a \neq 0 \) oraz \( b \neq 0 \).

Przykład 13:

Obliczmy całkę \( \int e^ {4x} \cos 6x\, dx \) .

\( \int e^ {4x} \cos 6x\, dx= \left| \begin{array}{rclcrcl} g (x) &=& \cos 6x & & f^{\prime} (x) &=& e^ {4x} \\ g^{\prime} (x) &=& -6\sin 6x & & f(x) &=& \frac{1}{4} e^ {4x} \end{array} \right| \\ = \frac{1}{4}e^ {4x}\cdot \cos 6x - \int \frac{1}{4} e^ {4x}\cdot (-6 \sin 6x)\, dx= \frac{1}{4}e^ {4x} \cos 6x +\frac{3}{2} \int e^ {4x}\sin 6x \, dx \\ = \left| \begin{array}{rclcrcl} g (x) &=& \sin 6x & & f^{\prime} (x) &=& e^ {4x} \\ g^{\prime} (x) &=& 6 \cos 6x & & f(x) &=& \frac{1}{4} e^ {4x} \end{array} \right| \\ = \frac{1}{4}e^ {4x} \cos 6x +\frac{3}{2}\cdot \left( \frac{1}{4}e^ {4x}\cdot \sin 6x - \int \frac{1}{4} e^ {4x}\cdot 6 \cos 6x\, dx\right) \\ = \frac{1}{4} e^{4x} \left(\cos 6x + \frac{3}{2} \sin 6x \right) - \frac{9}{4}\int e^ {4x} \cos 6x \, dx \, . \)

Niech \( I = \int e^ {4x} \cos 6x \, dx \) . Wówczas rozwiązujemy równanie:

\( I = \frac{1}{4} e^{4x} \left(\cos 6x + \frac{3}{2} \sin 6x \right) - \frac{9}{4} I \, , \\ \frac{13}{4}I = \frac{1}{4} e^{4x} \left(\cos 6x + \frac{3}{2} \sin 6x \right) \, , \\ I = \frac{4}{13} \cdot \frac{1}{4} e^{4x} \left(\cos 6x + \frac{3}{2} \sin 6x \right) \, , \\ I = \frac{1}{13} e^{4x} \left(\cos 6x + \frac{3}{2} \sin 6x \right) \, . \)

Po dodaniu do wyznaczonej funkcji pierwotnej stałej \( c \) otrzymujemy rozwiązanie:

\( \int e^ {4x}\cos 6x \, dx = \frac{1}{13} e^{4x} \left(\cos 6x + \frac{3}{2} \sin 6x \right) + c \, . \)

Przykład 14:

W podobny sposób można wyliczyć całkę \( \int \sin ^{2} x\, dx \) .

\( \int \sin ^{2} x\, dx= \int \sin x \cdot \sin x\, dx = \left| \begin{array}{rclcrcl} g (x) &=& \sin x & & f^{\prime} (x)& =& \sin x \\ g^{\prime} (x)& = & \cos x & & f(x)& =& -\cos x \end{array} \right| \\ = \sin x\cdot (-\cos x) - \int \cos x \cdot (- \cos x)\, dx= -\sin x \cos x + \int \cos ^{2} x\, dx \, . \)

Korzystając z jedynki trygonometrycznej \( \sin ^{2} x + \cos ^{2} x = 1 \), otrzymujemy:

\( \int \sin ^{2} x\, dx=-\sin x \cos x + \int (1- \sin ^{2} x)\, dx =-\sin x \cos x + x - \int \sin ^{2} x\, dx \, . \)

Przyjmując \( I= \int \sin ^{2} x\, dx \), otrzymujemy równanie:

\( I= -\sin x \cos x + x -I \, , \\ 2I = x- \sin x \cos x \, , \\ I = \frac{1}{2} (x-\sin x \cos x) \, . \)